Galileu Galilei (1564 - 1542), em uma de suas experiências, comprovou sua hipótese sobre à reação entre o tempo e a distância percorrida por um objeto em queda livre. Nesse experimento, Galileu usou um artifício - um plano inclinado - e concluiu que, em queda livre, a distância percorrida por um objeto é proporcional ao quadrado do tempo gasto.
A distância percorrida por objetos em queda livre em função do tempo é modelada por uma Função Quadrática (funçao do 2º Grau).

A história conta...

O que é função?
Função (Matemática) f : D -> Y é uma lei que associa elementos de um conjunto D,chamado o domínio da função, a elementos de um outro conjunto Y chamado o contradomínio da função. Costuma-se denotar por f(x)o elemento que a função f associa ao elemento x:
f : x E D -> y = f(x)

Como surgiu o estudo de funções
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.
Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.

A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do séculoXVIII
para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Matemáticos que contribuíram com o estudo (Leibniz. Bernouli, Euler, Dirichlet, Lagrange)

Gottfried Wilhelm Leibniz – (1646- 1716) nasceu no dia primeiro de julho, na cidade alemã de Leipzig. Era filho de um professor de filosofia moral. Sua família era de origem eslava. Criança ainda, explorava a biblioteca do pai. Viu os autores antigos e escolásticos. Tomou contato com Platão e Aristóteles. Com quinze anos começou a ler os filósofos modernos. Bacon, Descartes, Hobbes e Galileu. Leibniz foi de um espírito universal, muito inteligente, que revelou aptidão e genialidade em diversos campos. Bertrand Russel fala que era admirável, mas não como pessoa; pois escreveu para ser popular e agradar os princípes. Cursou filosofia na cidade natal, matemática em Jena, com vinte anos. Cursou também jurisprudência em Altdorf. Em 1663, aluno da faculdade de filosofia, escreveu um trabalho sobre individualização.

Euler

Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta.
O Número de Euler com as primeiras 200 casas decimais
e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901...

LagrangeJoseph Louis Lagrange (Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813) foi um matemático francês, pois apesar de ter nascido na Itália,naturalizou-se francês. O pai de Lagrange havia sido tesoureiro de guerra da Sardenha, tendo se casado com Marie-Thérèse Gros, filha de um rico físico. Foi o único de dez irmãos que sobreviveu à infância. Napoleão Bonaparte fez dele senador, conde do império e grande oficial da Legião de Honra.

Para que estudar função
Estudar funções é acima de tudo aprender a "ler" os gráficos de cada uma delas, existem bons programas para rapidamente obter o gráfico de uma função a partir da sua expressão analítica.

Procurando as coordenadas

Pra que servem os gráficos

Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente. Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.

Plano cartesiano – René Descartes
A História está cheia de pequenos episódios que nos contam como na
base de grandes ideias estiveram muitas vezes situações bem simples.Conta-se que Descartes grande Matemático e Filósofo francês do séc. XVII, tinha uma saúde débil e precisava de passar muito tempo deitado. Mas a sua imaginação e interesse pelo estudo não descansavam mesmo nesses momentos. Um dia, estando Descartes deitado e olhando uma mosca que se movia no tecto,lembrou-se de observar os movimentos do pequeno animal. Pensou então numa base quadriculada para estudar posições e movimentos no plano. Esta ideia de utilizar um referencial definido por dois eixos com uma origem comum permitiu a representação de pontos no plano com a ajuda de pares ordenados.

Descartes provou que a posição de um ponto no plano podia ser definida e determinada com base nas distâncias x e y a dois eixos perpendiculares fixos (referencial cartesiano). A graduação dos eixos é feita usando a unidade mais conveniente.
Num referencial cartesiano, qualquer ponto fica definido por um par ordenado de números, as coordenadas do ponto (abcissa e ordenada). Por ex.: o ponto P tem abcissa 2 e ordenada 3. O nome “DESCARTES” em latim dizia-se “CARTESIUS” e foi desse nome que derivou o adjectivo “CARTESIANOS” que encontramos, em homenagem a René Descartes, em várias expressões usadas em Matemática elementar como por exemplo: “gráficos cartesianos”, “coordenadas cartesianas”, etc.



Interpretando gráficos
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único.
∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Parábolas...Pra que te quero?

Introdução
Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola: "Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."
Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).

Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).


Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
Aplicações práticas das parábolas:
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:


Numa antena parabólica, as ondas captadas refletem-se na superfície parabólica e dirigem-se para o foco onde está localizado o retransmissor.



Uma lâmpada colocada no foco de um espelho cuja superfície espelhada é parabólica reflete seus raios de luz paralelamente entre si. É o que acontece, por exemplo, no farol de um automóvel.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

Ela está em toda parte...

Aplicações das funções no nosso dia-a-dia


Para pagar as despesas mentais de um condomínio, ficou combinado que todos contribuiriam com a mesma quantia. Num certo mês, em que as despesas totalizaram R$ 10.800,00, deviado à inadimplência de dois dos condôminos, cada um dos demais foi obrigado a pagar, além da sua cota normal, um adicional de R$ 32,00. Qual é o número de condôminos?"

No começo diz que, foi dividido uma quantia igual para TODOS, para pagar a divida de R$10.800,00.
Logo:A quantidade de moradores (X)
vezes A cota(Y) é igual a divida,
ou seja,"X x Y = 10.800" ou "X= 10800 / Y"
Mas depois ele diz que, 2 moradores nao pagaram e para pagar a divida teve que ter um adicional de 32 reais para os que pagaram a cota inicial (Y).
Logo: (números de moradores menos os que nao pagaram) vezes a cota inicial + (numeros de moradores menos os que nao pagaram) vezes o adcional é igual a divida adquirida pelo condominio, ou seja,
(X-2)xY + (X-2)x32 = 10.800XY - 2Y + 32X - 64 = 10.800
Agora detalhe: XY=10.800 como ja foi dito no inicio.
Então: 10.800 - 2Y + 32X - 64 = 10.800-2Y + 32X = 64 x 10.800 / 10.800-2Y +32X = 64
*simplificando tudo por dois, temos: -Y + 16X = 32
mas temos o valor de X, expresso no inicio("X = 10.800 / Y"),
então: -Y + 16 x 10.800/Y = 32-Y + 172.800/Y = 32
*tirando o MMC teremos: -YxY + 172.800x1 = 32xY-Y² + 172.800 = 32Y-Y² + 172.800 - 32Y = 0 *multiplica por -1 para facilitar minhas contas, teremos: +Y² + 32Y - 172.800
resolvendo pela formula de baskarah teremos: Y = -32 +- (a raiz quadrada de: 32² - 4 x 1 x 172.800) e divide tudo por 2Y = -32 +- (a raiz quadrada de 692224) e divide tudo por 2Y = -32 +- 832 e divide tudo por 2Y' = -32 + 832 / 2 Y" = -32 - 832 / 2Y' = 800 / 2 Y" = -864 / 2Y' = 400 Y" = -432
*mas como 'nao existe' valor em dinheiro negativo, adotaremos o 400 como valor de Y.
E ao jogar na formula: X x Y = 10.800 obteremos o valor exato de X(quantidade de condôminios)então:X x Y = 10.800X x 400 = 10.800X = 10.800 / 400X = 27 condôminos.

Resp.: 27 condôminos

Um olhar sobre as ciências

Considerações
Em geral, os livros didáticos ( MARCONDES, Gentil & Sérgio. Matemática para o ensino médio. GUELLI, Oscar. Uma aventura do pensamento, entre outros.) apresentam a função quadrática de maneira bastante formalizada e sem muitas aplicações. Pouca ênfase é dada para a representação de fenômenos que podem ser descritos por esta função. É de fundamental importância, para que a aprendizagem do aluno possa ser significativa, que se relacione o conceito que envolve a função quadrática com suas aplicações práticas. A importância de buscar dados e informações em diferentes fontes, para encontrar aplicações dessa função está no fato de se perceber a grandiosidade de fenômenos que podem ser descritos por uma função matemática como a função quadrática e de relacioná-la com a sua vida, dando sentido ao conceito e ao formalismo matemático envolvido nessa função. Sendo assim foram buscadas informações a respeito da aplicabilidade da função quadrática nos diversos campos, como o da física e o da química.

Aplicações
Para obter informações sobre aplicações, foram feitas pesquisas bibliográficas em periódicos, consultas em sites e entrevistas com profissionais específicos nas áreas de física e química. Durante a pesquisa bibliográfica, não foram encontradas aplicações da função quadrática na área de química. Uma hipótese então levantada foi que a função quadrática é muito simples para modelar fenômenos químicos em sua totalidade. Na tentativa de buscar mais informações nesta área, foram entrevistados profissionais específicos da área de química. Nesta busca de informações, a hipótese então levantada não foi comprovada pois foram encontrados diversos fenômenos químicos modelados pela função quadrática. Dentre as aplicações encontradas, as mais relevantes foram: lançamento de projéteis, controle de processos (projetos de reatores), faróis de automóveis, , antenas parabólicas e radares, na geometria e nos esportes.
# Análise e Controle de Processos: Segundo informações de profissionais da área de engenharia um reator é um equipamento utilizado para produzir reações químicas. Um exemplo muito prático é a panela de pressão no sentido de que propicia reações químicas entre os alimentos nela contidos. Outro exemplo são os reatores do Polo Petroquímico que produzem a matéria-prima para algumas empresas, como de plásticos ou de tintas. Neste sentido, para manter a temperatura de um reator constante, modela-se a situação com uma função quadrática expressa da seguinte forma:

Equação da função de Transferência:

10s2 + 7s + kc + 1 = 0

,onde kc é uma constante do processo, obtida através da construção de gráficos experimentais.

# Lançamento de Projéteis: Quando se lança um objeto no espaço (pedra, tiro de canhão,...) visando alcançar a maior distância possível, tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. O lançamento de projéteis é modelado por uma função quadrática porque é um movimento acelerado pela ação do campo gravitacional.
# Queda Livre: Na queda livre dos corpos, o espaço ( s ) percorrido é dado em função do tempo ( t ), por uma função quadrática s(t) = 4,9 t2 em que a constante 4,9 é a metade da gravidade que é 9,8 m/s2 .
# Antenas Parabólicas e Radares: Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que poderão ser captadas pela antena parabólica ou radar, uma vez que o feixe de raios atingirá a antena que tem formato parabólico e então ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar denominado foco da parábola.
# Faróis de Automóveis: Se colocarmos uma lâmpada no foco de uma parábola e esta emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre um espelho parabólico de um farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contém o foco e o vértice da parábola. Esta é uma propriedade geométrica importante lidada à Ótica que permite valorizar bastante o conceito de parábola.

Problemas e curiosidades da função do segundo grau

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?



O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 , estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração dagravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

Exercicios

1- Sabe-se que -1 e 5 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-2, -7) pertence ao gráfico dessa função então o seu valor máximo é:

a) -1
b) 9
c) -7
d) 9,25
e) -9

R.: Letra B

2- Dada a função f(x)= x² - x – 12 calcule :

a) f(1)

b) x,para f(x) = 8

R.: a) -12
b) -4 ou 5.

3- Os zeros da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são p=2 e q=1 e seu vértice está em
(3/2,-1/4). Qual é a respectiva função?

R.: y=x²-3x+2.

4 - Os zeros de uma função quadrática f(x)=x²+bx+c são p=-7 e q=-1. Obter o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.

R.: (-4, -9)


5– Relativamente às afirmações seguintes:

I- Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A U B;
II – O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função;
III – Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva;

Podemos afirmar:

(A) Somente I é verdadeira
(B) Somente III é verdadeira
(C) São todas falsas
(D) II e III são verdadeiras

R.: Letra B

6- Considere as afirmações:

I- O gráfico de uma função quadrática pode não intersectar o eixo dos yy.
II – O gráfico de qualquer função quadrática intersecta o eixo dos xx em dois pontos.

Então:

(A) I e II são verdadeiras
(B) I é verdadeira e II é falsa
(C) I é falsa e II é verdadeira
(D)I e II são falsas

R.: Letra D

7– Uma função quadrática com máximo em x = 2 tem 5 como zero. O outro zero desta função é:

(A) 3
(B) -1
(C) -2
(D) 0

R.:Letra B

8- Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?

a) -8
b) 65
c) 0
d) 13

R.: Letra B